パラボラアンテナの原理 〜二次関数

中学・高校レベルの数学でも身近な（意外な？）ところで役に立っています。

二次関数...名前くらい覚えてませんか？

こんなヤツです。

もしスカパーなどCS放送・BS放送用のアンテナをお持ちなら、その形を確認してみてください。
信号を受ける面はユル〜くカーブしているはずですが、このカーブが二次関数になっています。

これは「パラボラアンテナ」という種類のアンテナです。
こんなヤツです。

「パラボラ＝parabola」とは「放物線」という意味です。
二次関数をグラフに表したものを放物線といいます。

パラボラアンテナは二次関数の「ある特徴」を利用することで機能しています。
もちろんそのためにあのような形（放物線をｙ軸を中心に回転させた立体＝回転放物面）になっているわけです。

その原理を簡単に見てみましょう。

図の左半分を見てください。

薄茶色の信号（電波や光だと思ってください）はパラボラアンテナの反射面に当たって反射します。
このとき反射面と信号の角度（入射角）によって反射する方向（反射角）が決まります。
反射角＝入射角です。

信号は、当たる場所に応じた反射角で進みますが、どこに当たっても必ずある点（Ｆ）を通ります。
（Ｆを焦点といいます）
なぜそうなるのかは、この記事の最後で計算します。

さて、時間経過とともに変化する波形を受信することで信号を映像やデータとして受け取ることができるわけですが、反射した信号をＦに集めてもＦに到達するまでの時間がバラバラでは困ります。

先ほどの図の右半分を見てください。
Ｐ、Ｑそれぞれで信号は方向を変えて焦点Ｆに向かいます。
反射面に当たった後の焦点Ｆまでの距離が異なりますので困ったことになるでしょうか？

反射面がなかったとして、まっすぐ進んだ場合を考えてみましょう。
図で原点ＯのＦとちょうど反対側に直線があります。
直進すれば信号はその直線に同時に届きます。

Ｐからその直線までの距離はＰＦと同じです（２つの緑の線は同じ長さ）。
Ｑからその直線までの距離はＱＦと同じです（２つのオレンジの線は同じ長さ）。

つまり、経路は変わっても信号は同時に届くのです。
これがアンテナとして機能するもう一つの特徴です。

二次関数のこの２つの特徴のおかげで、信号は「一ヶ所」に「同時」に到達します。

二次関数恐るべし！（笑）

さて、一ヶ所に集まることがわかりましたがCS放送・BS放送用のアンテナは反射した信号を受け取る部分が中心からずれていますね。 これも同じ原理なのでしょうか。

このタイプのパラボラアンテナを「オフセットパラボラアンテナ」といいます。
これも「回転放物面」で作られているので原理は同じです。
模式図を描くとこんな感じです（真上からくる信号を受けるイメージです）。

同じ放物線だと考えれば焦点Ｆも同じです。
オフセットの特徴として次のことが挙げられます。

・焦点Ｆに設置する受信機器が信号の経路を邪魔しない。
・センターフィード型に比べて面が斜めに立つので雪やホコリなどが積もりにくい。
・斜めになるので同じ量の信号を受けるためには反射面が大きくなる。

では、一ヶ所に集まることを計算で確かめてみましょう。
次の図を見てください。

オレンジの曲線がパラボラアンテナです。
真上から来た信号がＦに集まることを確かめます。

Ｆの座標が知りたいので直線ＰＦとｙ軸との交点（ｙ切片）を求めることになります。
そのために直線ＰＦの式を、まずは直線ＰＦの傾きを調べます。

ｌ（エル）は点Ｐにおける接線です。

入射角も反射角もこの接線エルに対する角度になります。
図では入射角（＝反射角）は θ で表しています。
図の中の左側の説明を見てください。

接線エルの傾きは元の二次関数を微分して、ｘ＝α を代入すれば得られます。
傾きとはすなわちタンジェントのことなので、図中の式①が成立します。

次にＰＦの傾きを知るために ρ の角度をしらべます。
図の中の右下の説明を見てください。

直角は π/2 です。180度は π です。
②が成り立つことがわかると思います。

この①と②を使って計算してみましょう。

直線ＰＦとｙ軸との交点（つまり点Ｆ）は α に関係なく一定の値であることが示されましたね。