第３回　当選確率と試行回数

当選確率（ｐ）があらかじめわかっているゲームの場合、何回（ｎ）投資したらどれくらい当たるのかを考えてみます。
ｎ回目までに少なくとも１回当選する確率をｐ(n)とすると、

ｐ(n)＝１−(１−ｐ)^ｎ

となります。
一回の投資ではずれる確率は

１−ｐ

ですから、それがｎ回続く確率は

(１−ｐ)^ｎ

です。
これはつまり、ｎ回投資して一回も当たらない確率のことですから、１からこれを引けば求める確率ｐ(n)になるわけです。

１．ｐ＝１／１０の場合

ｎ	ｐ(n)	ｎ	ｐ(n)
1	0.10000	9	0.61258
2	0.19000	10	0.65132
3	0.27100	15	0.79411
4	0.34390	20	0.87842
5	0.40951	40	0.98522
6	0.46856	60	0.99820
7	0.52170	80	0.99978
8	0.56953	100	0.99997

結果をみて、どう思われますか？
直感的には10回やれば一回は当たりそうな気がしますが、ｎ＝１０のときの確率はたかだか65％です。
パチンコで大当たりの確率が400分の１だからって、400回まわせば．．．．と思ってたひといませんか？
それでは、400分の１の場合もみてみましょう。

２．ｐ＝１／400の場合

ｎ	ｐ(n)	ｎ	ｐ(n)
1	0.0025	400	0.6326
10	0.0247	500	0.7139
20	0.0488	600	0.7773
40	0.0953	700	0.8266
80	0.1815	800	0.8650
100	0.2214	900	0.8949
200	0.3938	1000	0.9182
300	0.5281	2000	0.9933

やはり、400回まわしても63％程度でしかありません。
（甘デジ（1/100）の場合はこちら）

３．考察

10分の１を10回で65％、400分の１を400回で63％、確率が近いと思いませんか？
何か固定の値に収束しているのでしょうか？
計算して確かめてみましょう。

ｎ＝１／ｐのときｐ(n)は、

で、

ここで、

であり、当選確率１／ｎのゲームにｎ回投資すると、ｎが大きければ大きいほど
ｐ(n)は63.21％に近づくことがわかります（ｅは自然対数の底）。

こんなところにｅがでてくるなんて、数学って美しい！