第７回　やさしい確率講座２
ミニで出てない数字を追え！

今回は前回に引き続き、確率の計算方法をナンバーズを題材に解説します。
今回の題材はミニで未だ出ていない数字です。
第270回までに出ていない数字は「０１」「４６」「４９」「５３」「７８」の５つです。
100分の１の確率のミニとしては、270回も抽選して出てない数字が５つもあったらおかしい？
さあ、調べてみましょう。

１．問２

ナンバーズ３のミニにおいて、270回の抽選で一度も出現しない数字が５つである確率を求めよ。

前回にならって問題を数学的に簡潔にしましょう。
複数回の抽選結果による数字の出方を「全く出ない」か「少なくとも一回は出る」かに分類します。問題では「全く出ない」数字が５つとなってますが、このとき残りの95個の数字は「少なくとも１回は出て」いるはずです。
この問題で気をつけなければならないのは、５個の結果だけでなく他の95個についても「少なくとも１回は出る」確率を考慮しなければならないことです。そうしないと５個であって「それ以上でない」ことが保証されません。
手順としては、

1. ある５つの数字を想定して全く出ない確率を求める
2. 他の95個の数字が少なくとも１回は出る確率を求める
3. 上記ａ、ｂをかける（２条件が同時に起こる）
4. 100個から５個を選ぶ選び方の数だけ、上記ｃを加算する

となります。この手順ｂを忘れてしまうと、６つ以上の数字が「全く出ない」ケースを含んでしまうので正しくない訳です。
では手順どおり計算してみましょう。

２．確率の計算

手順ａから順に計算してみましょう。
ある数字が１回の抽選で出ない確率は、

99/100＝0.99

ですから、270回続けて出ない確率は、

(99/100)²⁷⁰ ≒ 0.0663

です（ ≒ はニアリーイコール。「ほぼ」とか「約」と思って下さい）。

ところで、電卓で270乗を計算する方法知ってますか？
知らない人はここをご覧下さい。

この現象（数学では「事象」といいます）が５つの数字において同時に起こる確率ａは、

ａ＝((99/100)²⁷⁰)⁵ ≒ 1.281×10^-6
（＝100万分の１程度の値）

次に、ｂを計算します。ある数字が270回の抽選で少なくとも１回は出る確率は、

１−(99/100)²⁷⁰ ≒ 0.9337

これは、前回も使った方法ですが「少なくとも１回出る」確率を求めるためには、「全く出ない」確率を求めて１(＝100%)から引けば良かったんですね。
さて、これが95個の数字において同時に起こる確率ｂは、

ｂ＝(1-(99/100)²⁷⁰)⁹⁵ ≒ 0.0015

そして、ａ、ｂが同時に起こる（270回の抽選である特定の５つの数字が全く出なくて、他の95個の数字が少なくとも１回は出る）確率ｃは、

ｃ＝ａ×ｂ＝((99/100)²⁷⁰)⁵×(1-(99/100)²⁷⁰)⁹⁵ ≒ 1.894×10^-9
（＝10億分の２程度の値）

これで、ｃまでできました。次はｄですが、少し説明しましょう。

３．組み合わせの求め方

組み合わせの数を計算するのはやや面倒ですので、こちらで説明します。
知ってる人は次の４に進んで下さい。

４．問題の続き

さて、本題の続きです。100個の数字から５個を選ぶ選び方ｄは、

ｄ＝100Ｃ5＝(100×99×98×97×96)÷(5×4×3×2×1)＝752,875,270通り

ですね。これで、材料がそろいました。
確率ｃで起こる事象がｄ通りあるので、求める確率はｃ×ｄです。

ｃ×ｄ ≒ 1.894×10^-9×752,875,270 ≒ 0.14256

５．考察

さて、問題の確率は14.256％です。
まあ、ときどき起こり得るといったところでしょうか。
では出ない数字が４つや６つの場合はどのくらいの確率でしょう。
下のグラフを見て下さい。

出ない数字が３個から10個の確率を合計すると、約98％になります（グラフで色の薄い部分。また、１から100まで合計すれば当然100％）。つまりほとんどのケースで３〜10個の出ない数字があるわけです。

今回も、別に珍しくないという結果になってしまいました。逆に全ての数字が少なくとも１回は出る確率は、0.105％と滅多に起こらないことがわかります。
もちろん、出てない５つの数字が今後最も出やすいなんてことは、絶対にありませんので、ご注意を．．．

これで第７回の内容は終わりです。
次回はナンバーズの抽選300回を記念して300回の出目を検証したいと思っています…と、ある方にお話ししたのですが、第300回の抽選は10月ですので、それまでに何回か別の題材を考えます。