第９回　休憩

今回はネタ切れなので、短い話題を２つほど紹介してお茶を濁すことにします^^;)

１．なぜ当選確率６３％か

最初は第３回で示した「試行回数と当選確率」の関係で、２００分の１の確率のゲームを２００回行ったときの当選確率が１００％でなく６３％程度であることについてです。いわゆるパチンコでいうところの「１倍ハマリを喰らわない確率」ですね。
２００回試行しているのに、なぜ１００％にならないのか？

答えは非常にシンプルです。下の図を見て下さい。正確に２００回に１回当たるとすると、どの連続する２００回を取りあげても、常に１回当たりが入っています。しかし１回以上当たることはありません。

一方、当たりにバラツキがある場合は、連続する２００回の取り方によって２回当たりが入っていたり、１回も入っていなかったりします。
この２つの違いは、宝くじの末等当選における「連番」買いと「バラバラ」買いの違いに似ています（厳密にはもちろん違いますが．．．）。
「バラバラ」買いとは、いわゆる「バラ」ではなく、末尾の数字もバラつくように買う方法です。宝くじの末等は１０枚に１枚の割合で入っていて、全体はこれより多くも少なくもありません。
「連番」で１０枚買う場合、どの数字からの１０枚でも必ず１枚の当たりがあり、「バラバラ」で１０枚買う場合は２枚当たることもあれば、１枚も当たらないこともあるわけです。

つまりはバラツキのなせる技なのです。２００回試行したときのｎ回当たる確率をグラフにしてみました。

このグラフの色の薄い部分が約６３％なのです。

２．無限ということ

次は無限について考えてみます。
確率をはじめ、数学を論ずる上で、永遠とか無限という概念は非常に重要です。
この講座でも何度となく、「永遠に試行する」場合と現実世界の違いを書いてきたつもりです。しかし、普通に生活しているとなかなか「無限」の持つ不思議な側面をみることができません。
数学では物事を厳密に突き詰めるため、こうした「無限」の不思議に出会えます。
では問題です。

1. 偶数と奇数はどちらが多いか？
2. 自然数と偶数はどちらが多いか？
3. ２の倍数と８の倍数はどちらが多いか？
4. ４cmの線分上の点と８cmの線分上の点はどちらが多いか？

＊自然数というのは１以上の整数（1,2,3,4,....）のことです。

答えはすべて「同じ」です。下の表を見て下さい。

偶数も奇数も８の倍数も自然数と１対１に対応しています。
例えば自然数と偶数で上の表のようなペアを作ってみると、どちらのグループにも余りも不足もないことがおわかりいただけると思います。

４も同じです。図を見て下さい。

集合の要素が有限の場合、１以外は「同じ個数」ではありません。
しかし集合の要素が無限にある場合は、番号が付けられる（可付番集合＝自然数と１対１対応可能）ならどちらが多いとも少ないとも言えません。
不思議ですね〜。集合論って地味だけど結構面白いんですよ。

では問題をもう２つ。

どちらも徐々に小さくなっていく分数の無限和です（無限級数といいます）。
無限に足すのだから、無限？　答えは次のとおりです。

いかがでしたか。
一方は有限の答えがあり（収束するといいます）、一方は無限（発散するといいます）です。不思議ですね〜。

確率を用いるギャンブルの場合、その戦略において「無限」が絡むと気をつけなければなりません。
「無限に続ければ．．．」という記述は攻略本などでよく見かけますが、現実は無限に続けることは不可能ですし、無限と有限では世界が全く違うのです。今回の内容を「無限」に関する誤解の解消に役立てていただければうれしいのですが．．．

さて、これで第９回の内容は終わりです。
次回はちゃんとする予定です．．．