第12回　麻雀の数学的考察　〜配牌は何種類あるのか〜（続き）

さぁいよいよ同一配牌に出会う確率を計算します。

（３）配牌のカウント
さて、まずは配牌が何種類あるのかを計算します。計算といっても地道に数えるしかありません(T-T)が、これで作業の半分は終わりです。

子（散家）の場合、配牌は13枚です。どうやって数えましょう。
今回は配牌の「牌の種類の数」で場合分けをして数えます。もっといい方法をご存知の方はぜひメールで教えて下さい(^^)

13枚の配牌で一番牌の種類が少ないのは４種類の時です。３種類では４枚ずつ（配牌で３カンツ）あっても12枚にしかならないからです。

逆に一番多いのは対子や暗刻のない、13種類の牌からなる場合です。

では５種類の場合を例として、数え方を説明します。
５種類を仮に、東南西北白とします。これがそれぞれ何枚ずつあるかを次の様に表します。

東	南	西	北	白
４	４	３	１	１

この場合東４枚、南４枚、西３枚、北１枚、白１枚の計13枚です。
しかし、同じ枚数でも、南４枚、西４枚、白３枚、東１枚、北１枚というのは当然別の配牌ですから、それらを次のように数えます。

• ５種類のウチ４枚ある２種類を選ぶ選び方は5C2通りある
• 残りの３種類のウチ３枚ある１種類を選ぶ選び方は3C1通りある
• 残った２種類は自動的に１枚となる

よって、この５種類の場合、
5C2×3C1＝10×3＝30通り
の組み合わせがあることがわかります。ここまでを次の様に表します。

東	南	西	北	白
４	４	３	１	１	5C2×3C1	＝30

また、５種類の場合の枚数の組み合わせは、上記だけでなく、東３枚、南３枚、西３枚、北３枚、白１枚というケースもあります。
（配牌で大四喜字一色四暗刻単騎テンパイ！）

これらをもらさず、重複しないように注意しながら列挙して、それぞれ上記のように組み合わせを計算すると次の様になります。

東	南	西	北	白
４	４	３	１	１	5C2×3C1	＝30
４	４	２	２	１	5C2×3C1	＝30
４	３	３	２	１	5C2×3!	＝60
４	３	２	２	２	5C3×2C1	＝20
３	３	３	３	１	5C1	＝5
３	３	３	２	２	5C2	＝10

右端の数字を全て加算すると155通りになります。東南西北白の場合で、これだけあるんです。

さて、麻雀牌は34種類ありますので、東南西北白のような５種類を選ぶ選び方は、

34C5＝278,256通り

ですから、５種類の場合の配牌の種類は、

155×278,256＝43,129,680通り

で、下のように表が完成します。

５種類
４	４	３	１	１	5C2×3C1	＝30	155×34C5 ＝43,129,680通り
４	４	２	２	１	5C2×3C1	＝30
４	３	３	２	１	5C2×3!	＝60
４	３	２	２	２	5C3×2C1	＝20
３	３	３	３	１	5C1	＝5
３	３	３	２	２	5C2	＝10

さて、このページも大きくなりつつあるので、他の場合の表はこちらを参照下さい。
以下には、右端の部分を中心に取り出してみました。

４種類	20×34C4＝	927,520
５種類	155×34C5＝	43,129,680
６種類	456×34C6＝	613,276,224
７種類	728×34C7＝	3,916,360,448
８種類	728×34C8＝	13,217,716,512
９種類	486×34C9＝	25,491,310,416
10種類	220×34C10＝	28,848,190,800
11種類	66×34C11＝	18,882,452,160
12種類	12×34C12＝	6,580,248,480
13種類	1×34C13＝	927,983,760
合計		98,521,596,000

2001.02修正
「らすかる」さんありがとうございました。
「らすかる」さんのページはこちらです。

これで配牌が全部で約985億通りあることがわかりました。

１秒毎に配牌をとっても３千年かかります（笑）

ところで、この項の冒頭で「面白いことに気がついた」と書きましたが、皆さんも気づかれましたか？

私が気がついたのは、配牌が約985億通りあるということはつまり、

闘牌途中も含めた麻雀の牌姿すべての数もこの約985億通りしかない

ということなのです。
それで？　という声が聞こえてきそうですが、私はとても感動しました。

私は麻雀の牌姿が全部で何通りあるか正確に数えた！（笑）

（４）お詫び
私は最初、確率の計算式を間違えて百万分の１という結果で公開してしまいました。修正前のページを見てくれた方ごめんなさい。
この確率計算は大変難しく、ある思い切った近似をしないと計算できません（少なくとも私には）。
と、いうのはサイコロの出目や誕生日などと異なり、985億通りの配牌はそれぞれ出現確率が異なるからです。
例えば「万子の九蓮宝燈の９面待ち」の配牌は９種類の牌からなる配牌で、上記の表のように記述すれば、「３１１１１１１１３」となり、一万と九万は４枚のウチどれを使わないか４通りあり、２万から８万はどの一枚を使うかで４通りずつあります。結局4²×4⁷＝4⁹通りの組み合わせがあります。
また「国士無双の１３面待ち」の配牌は13種類の牌からなる配牌で、「１１１１１１１１１１１１１」の形です。全ての牌はどの一枚を使うか４通りずつあるので、4¹³通りの組み合わせがあります。
つまりこの２つの配牌はともに、985億のウチの１つではありますが、出現確率は4⁴倍も違うのです（じろうさん＠未勝利スポーツ、ありがとうございました。まだＨＰを運営してらっしゃいましたら是非ご連絡下さい）。
私にはこの確率を計算する能力はありません。そこで今回は不正確を恐れず次のように近似します。正しい確率の追求は今後もトライします。

985億通りの配牌の持つ出現確率は全てを合計すれば当然「１」になり、その平均は「985億分の１」であるので、各出現確率を「985億分の１」とする。

以下はこの近似のもとで計算しました。

（５）確率計算
やっとここまできました。
さっそく確率を計算しましょう。求める確率は以下のとおり定義したのでした。

直感的 な定義	過去において経験済みの配牌に再度出会う確率
今回の 定義Ａ	週２回、４半荘/回を50年続けた場合（計２万荘。半荘１回で10局として20万局）に、その全ての配牌のウチ同一のものが、少なくとも１組ある確率
今回の 定義Ｂ	過去に相異なるＸ種類の配牌を経験している人が、そのウチの１つと同一の配牌を今得る確率

まずはＡからです。求めた配牌の数（約985億）をＮ、経験局数（20万局）をｎと書きます。
ｎ個の配牌を一つずつチェックしましょう。

１番目の配牌は何でも良いので、N/N
２番目の配牌が１番目の配牌と異なる確率は、(N-1)/N
３番目の配牌が上記２つと異なる確率は、(N-2)/N
ｎ番目の配牌が上記（ｎ−１）個のいずれとも異なる確率は、(N-n+1)/N
上記ｎ個の事象が同時に起これば、１組も同一のものがないことになるので、その確率PA2は、

PA2＝((N-1)/N)×((N-2)/N)×…×((N-n+1)/N)

となり、実際に985億とか、20万回とかを代入してみると、

PA2≒0.816＝81.6％

さて、ここまで子の場合で計算してきましたが、親の場合はどうでしょう。
親は配牌が１枚多いので、Ｎがもっと大きくなります。結論からいうと約3265億通りです。これも同じように全部数えました（T-T)
20万局のウチ４分の１は親と考えていいでしょう。
そこで、子で15万局、親で５万局として、少なくとも一方で同一の配牌を経験できる確率PAを求めましょう。
子の15万局の配牌が全て異なる確率（PA2子）と親の５万局の配牌が全て異なる確率（PA2親）をかけて、１から引けば良いわけです。

PA＝１−（PA2子）×（PA2親）
　 ≒1-0.89209×0.99618
　 ≒0.111=11.1％

ちょとびっくりしました。
985億通りも配牌があるのに結構同じものに出会えるんですね。
20万局経験すれば、十人に一人は経験できるわけですね。

次にＢの確率を計算しましょう。18歳から打ち始めてＡと同じペースで今33歳とすると、15年で半荘６千回（６万局）になります。
子の場合の求める確率PB1は、

PB1＝（6万×0.75）÷985億
　 ≒4.57×10^-7≒１千万分の５

親の場合の求める確率PB2は、

PB2＝（6万×0.25）÷3265億
　 ≒4.59×10^-8≒１億分の５

子の場合で、ジャンボ宝くじと同等ですね。親の場合はその10分の１。

４．考察

ＡとＢでだいぶ確率が違うようです。これはどういうことでしょう？

これを書いているとき、丁度１年くらい前のＮｅｗｔｏｎの記事を思い出しました。そこには「一致曲線」というのが紹介されています。

簡単に紹介させていただくと、

「歴代の総理大臣の誕生日（月日）を調べると、高々53人の集団なのに、同じ誕生日の人が３組もある。これは偶然か？必然か？」
（ニュートン　1997年１月号　（株）教育社）

というもので、実際の計算方法は、先のＡと同じです。
Ｎに365、ｎに53を代入すると98％という高い数値がでてきます。

Ｎｅｗｔｏｎでは何故か40人で計算していましたが、40人までなら関数電卓で計算できるからかな？

人数を横軸に、確率を縦軸にとったこのグラフを「一致曲線」と呼んでいるのです。

つまり、この確率は直感とは異なり、ある程度人数（半荘数）があれば結構な高確率で一致することがわかります。逆に人間の直感がいかにいい加減かということになるのでしょう。

では、なぜＢはあんなに低い確率なのか？　もちろん６万局を20万局に変えれば約３倍にはなります。それでも高々百万分の２（子の場合）です。

これは比較する組み合わせの数の違いと考えられます。

Ａの場合、20万局のどれとどれが一致しても良いわけですので20万対20万で約200億組！ありますが、Ｂの場合今現在の配牌対過去の配牌ですから、１対20万で20万組なのです。約10万倍。確率も同じくらいの比になっています。

先の誕生日の例でいうと、

自分と同じ誕生日の人はなかなか見つからない（Ｂ）

誰かと誰かが同じ誕生日というのはそこそこある（Ａ）

ということです。
ただし、Ａも半荘数が10分の１のとき（子で１万５千局、親で５千局）は、確率0.1％（千人に一人ぐらい）ですので、やっぱり配牌は大切にしましょう（笑）

５．感想

いかがですか？
今回は、確率計算の難しさと、自分の浅はかさを改めて痛感し、さらに数学が好きになりました(^^;
計算した確率は残念ながら正しくはありませんが、まったく的外れのものではありません。正解に近い値と思います。正解については、出来次第ここで紹介したいと思いますが、時間がかかりそうです。

牌ヤマの場合は総数の比較で、子の配牌の５百万倍、親の配牌の百万倍ありますので、もっと出会えないわけです。

質問への回答の中でも書いているとおり、この確率を計算したり、知っていたりしても、勝ち負けにはまったく関係ないでしょう。「無意味」かもしれません。
しかしこの作業を通して、私は改めて配牌を大切にしようと思いました。
配牌にしばられて手を進めるのは害もありますが、そういうことではなく、

この２度と会えないかもしれない配牌からの最終型を（捨て牌や結果を含めて）最高のものにしよう

と思うのです。

皆さんはどう思われたでしょうか。

さて、これで今回の手抜き講座は終わりです。
手抜きのつもりが大変なことになってしまいましたが、とても勉強になりました。